偏微分方程复习整理

数学基础

傅里叶级数

\[ f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\right] \]

其中

\[ \begin{align} a_n&=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(n\omega t)\mathrm d t &,n\in \mathbb{Z}_+ \nonumber \\ b_n&=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin(n\omega t)\mathrm d t &,n\in \mathbb{Z}_+ \nonumber \end{align} \]

二次型正交变化

设有二次型矩阵 \(A\)，\(f(x)=\boldsymbol x^{\mathrm T}A\boldsymbol x\)

存在正交矩阵 \(P\) 使 \(\boldsymbol x=P\boldsymbol y\)，\(f(x)=\boldsymbol y^{\mathrm T}P^{\mathrm T}AP\boldsymbol x=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2\)

步骤

1. 求出 \(A\) 的特征值 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)，（即求解 \(|A-\lambda I|=0\)）​
2. 得出对应的特征向量 \(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)，（即求解 \((A-\lambda_iI)x=0\)）
3. 特征向量标准正交化得 \(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n\)
4. 得 \(P=[\eta_1\ \eta_2\ \cdots\ \eta_n]\)

应用于梯度算子 \(\boldsymbol{\nabla_x}=\left(\dfrac{\partial}{\partial x_2},\dfrac{\partial}{\partial x_2}\right)\) 以化简二阶线性微分方程

数学模型

一维弦振动方程

\[ u_{tt}=a^2u_{xx}+f(x,t)\ ,\ 0<x<l\ ,\ t>0 \]

其中 \(a^2=T_0/\rho\)，\(f=f_0/\rho\)

初始条件

\[ u|_{t=0} = \phi(x)\ ,\ u_t|_{t=0} = \psi(x) \]

边界条件

1. 第一类边界条件：已知端点的位移随时间的变化

2. 第二类边界条件：已知端点的受力随时间的变化

   设受外力 \(\bar g_1(t)\)、\(\bar g_2(t)\)

   左端 \(u_x(0,t)=-\frac{\bar g_1(t)}{T_0}\)

   右端 \(u_x(l,t)=\frac{\bar g_2(t)}{T_0}\)

3. 第三类边界条件：端点连接弹簧振子

   以左端为例，弹簧长度 \(l_1\)，下端位置 \(Q_1(t)\)，\(\sigma_1=k_1/T_0\)

   得条件 \(u_x(0,t)-\sigma_1 u(0,t)=-\sigma_1(Q_1(t)+l_1)\)

   右端 \(u_x(l,t)+\sigma_2 u(l,t)=\sigma_1(Q_1(t)+l_2)\)

热传导方程

\[ u_t = a^2\Delta u + f \]

其中 \(a^2=k/(\rho c)\)，（\(c\) 为比热容），\(f=f_0/c\)，表示热源强度

初始条件

\[ u|_{t=0}=\varphi(x,y,z) \]

边界条件

1. 第一类边界条件：已知边界的温度分布

2. 第二类边界条件：已知通过边界的热流量 \[ \left.k\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol n}\right|_{\partial\Omega}=g(x,y,z,t) \]

3. 第三类边界条件：导热体置于介质之中 \[ \frac{\partial u}{\partial\boldsymbol n}+\sigma u=g(x,y,z,t)\ ,\ (x,y,z,t)\in\partial\Omega \]

泊松方程

泊松方程即稳态热传导方程

\[ -\Delta u=\frac{1}{a^2}f \]

其中 \(f\) 描述热源

当 \(f\equiv 0\) 时称为拉普拉斯方程

狄利克雷条件

\[ u|_{\partial \Omega}=\varphi \]

诺伊曼条件

\[ \left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{\partial\Omega}=\varphi \]

或

\[ \left.\left(\frac{\partial u}{\partial n}+\sigma u\right)\right|_{\partial\Omega}=\varphi \]

叠加原理

线性算子

以下分别为二阶偏微分算子、波算子、拉普拉斯算子和热算子

\[ \begin{align} L&=a_{11}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +2a_{12}\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} +a_{22}\frac{\partial^2}{\partial y^2} +b_1\frac{\partial}{\partial x} +b_2\frac{\partial}{\partial y} +c \nonumber \\ \Box&=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \nonumber \\ \Delta&=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \nonumber \\ H&=\frac{\partial}{\partial t}-a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \nonumber \end{align} \]

二阶线性偏微分方程

\[ Lu=f \]

以下为一个带有初始条件和边界条件的弦振动问题

\[ \begin{cases} & u_{tt} -a^2u_{xx}=f &&,\ 0<x<l\ ,\ t>0 \newline & u|_{x=0} = g_1(t) &,\ u|_{x=l} = g_2(t) &,\ t\geq 0 \newline & u|_{t=0}=\varphi(x)&,\ u_t|_{t=0} = \psi(x) &,\ 0<x<l \end{cases} \]

初始条件叠加原理

叠加原理 1

若 \(f=\sum_i \alpha_if_i\)，\(\alpha_i\) 为任意常数，\(u_i\) 是 \(Lu=f_i\) 的解，则 \(\sum_i \alpha_iu_i\) 是原问题的解

叠加原理 2、3

当将方程叠加时将初始条件和非齐次项一起加在一起

边界条件齐次性

方程边界条件 \(u|_{x=0}\ ,\ u|_{x=l}\) 为零时，称为齐次边界条件

齐次化

采用变换 \(u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)\)，其中 \(w(x,t)\) 满足 \(w(0,t)=g_1(t)\ ,\ w(l,t)=g_2(t)\)

可以取 \(w(x,t)=g_1(t)+\frac{g_2(t)-g_1(t)}{l}x\)

代入可得边界条件齐次化方程

当存在如下边界条件时，\(w\) 取以下构造

• \(u_x(0,t)=g_1\ ,\ u(l,t)=g_2\)：\(w=(x-l)g_1+g_2\)
• \(u(0,t)=g_1\ ,\ u_x(l,t)=g_2\)：\(w=xg_2+g_1\)
• \(u_x(0,t)=g_1\ ,\ u_x(l,t)=g_2\)：\(w=xg_1+\frac{g_2-g_1}{2l}x^2\)

分离变量法

特征函数法

即求解非齐次方程的分离变量法，将非齐次项按特征函数系展开

设有齐次边界条件弦振动问题：

\[ \begin{cases} & u_{tt} -a^2u_{xx}=f &&,\ 0<x<l\ ,\ t>0 \newline & u|_{x=0} = 0 &,\ u|_{x=l} = 0 &,\ t\geq 0 \newline & u|_{t=0}=\varphi(x)&,\ u_t|_{t=0} = \psi(x) &,\ 0<x<l \end{cases} \]

求解按如下四步进行

假设分离变量解

设 \(u=X(x)T(t)\)，代入齐次方程得

\[ XT''=a^2X''T \Rightarrow \frac{X''}{X}=\frac{T''}{a^2T} \equiv -\lambda \]

有特征值问题

\[ \begin{cases} & X''(x) + \lambda X(x)=0 &,&0<x<l \newline & X(0) = X(l) = 0 \end{cases} \]

求特征值问题的解

特征方程的通解为

\[ X(x)=c_1\cos\sqrt{\lambda}l+c_2\sin\sqrt{\lambda}l \]

代入边界条件有 \(\sin\sqrt{\lambda}l=0 \Rightarrow \sqrt{\lambda}l=n\pi\)

则特征值 \(\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^2\)，特征函数 \(X_n(x)=\sin\frac{n\pi}{l}x\)，\(n\geq 0\)

以特征函数系展开比较

将 \(\varphi\)，\(\psi\)，\(f\) 也按特征函数系展开叠加

\[ \begin{align} \varphi(x)&=\sum_{n=0}^\infty \varphi_n\sin\frac{n\pi}{l}(x) \nonumber \\ \psi(x)&=\sum_{n=0}^\infty \psi_n\sin\frac{n\pi}{l}(x) \nonumber \\ f(x,t)&=\sum_{n=0}^\infty f_n(t)\sin\frac{n\pi}{l}(x) \nonumber \end{align} \]

代入原方程并比较各项得

\[ \begin{cases} & T''(t)+a^2\lambda_nT_n(t)=f_n \newline & T_n(0) = \varphi(n) \newline & T_n'(0)= \psi(n) \end{cases} \]

求解可得各项

平面上泊松方程边值问题

极坐标上拉普拉斯方程

\[ u_{xx}+u_{yy}=u_{\rho\rho}+\frac{1}{\rho}u_\rho+\frac{1}{\rho^2}u_{\theta\theta}=0 \]

设 \(u(\rho,\theta)=R(\rho)\varPhi(\theta)\)，\(\varPhi(\theta + 2\pi)=\varPhi(\theta)\)，有

\[ \frac{\varPhi''(\theta)}{\varPhi(\theta)} = -\frac{R''(\rho)+\frac{1}{\rho}R'(\rho)}{\frac{1}{\rho^2}R(\rho)} = -\lambda \]

得特征值问题

\[ \varPhi''(\theta)+\lambda\varPhi(\theta)=0 \]

且有

\[ \rho^2R_n''(\rho)+\rho R_n'(\rho)-\lambda_nR_n(\rho)=0 \] 此方程为欧拉方程，作代换 \(\rho = \mathrm e^s\)，有 \[ R_{ss}''-\lambda_nR_n=0 \]

贝塞尔函数

常系数二阶齐次线性微分方程

\[ y''+ay'+by=0 \]

有特征方程

\[ \lambda^2+a\lambda + b=0 \]

基解组如下

• \(\lambda\) 两个不同实根 \(\rho_1\)，\(\rho_2\) \[ \left\{\mathrm e^{\rho_1x},\mathrm e^{\rho_2x}\right\} \] 特别的，当 \(\rho_1=\rho=-\rho_2\) \[ \left\{ \cosh \rho x=\frac{\mathrm e^{\rho x}+\mathrm e^{-\rho x}}{2}, \sinh \rho x=\frac{\mathrm e^{\rho x} -\mathrm e^{-\rho x}}{2} \right\} \]

• \(\lambda\) 两个共轭的复根 \(\rho_{1,2}=\alpha\pm \beta\mathrm{i}\) \[ \left\{ \mathrm{e}^{(\alpha+\beta\mathrm{i})x}, \mathrm{e}^{(\alpha-\beta\mathrm{i})x} \right\} \] 利用欧拉公式 \(\mathrm{e}^{(\alpha+ \beta\mathrm{i})x}=\mathrm{e}^{\alpha x}\cos \beta x+\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{i}\sin \beta x\) 并取实部后 \[ \left\{ \mathrm{e}^{\alpha x}\cos \beta x, \mathrm{e}^{\alpha x}\sin \beta x \right\} \]

• \(\lambda\) 一个重根 \(\rho_1=\rho_2=\rho\) \[ \left\{ \mathrm{e}^{\rho x}, x\mathrm{e}^{\rho x} \right\} \]

幂级数解法

变系数二阶线性常微分方程 \[ y''+p(x)y'+q(x)y=0 \] 若 \(p(x)\)、\(q(x)\) 在 \(x_0\) 的邻域内解析，那么有如下形式的解 \[ y(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k \] 否则若 \((x-x_0)p(x)\)、\((x-x_0)^2q(x)\) 在 \(x_0\) 的邻域内解析，那么有如下形式的解 \[ y(x)=(x-x_0)^\rho\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k \] 其中 \(a_0\neq 0\)，\(\rho\in \mathbb{R}\)

Γ 函数

\[ \Gamma(\alpha)= \begin{cases} \int_0^\infty x^{\alpha -1}\mathrm e^{-x}\mathrm d x &,\ \alpha >0 \\ \frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\alpha} &,\ \alpha < 0\ \wedge\ \alpha \notin \mathbb{Z} \\ \infty &,\ \alpha\leq 0\ \wedge\ \alpha \in \mathbb{Z} \end{cases} \]

性质

• \(\Gamma(1)=1\)，\(\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}\)
• \(\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\)
• \(\Gamma(n+1)=n!\)，\(n\in \mathbb{Z}_+\)

贝塞尔方程

\(r\geq 0\) 阶贝塞尔方程

\[ x^2y''+xy'+(x^2-r^2)y=0 \]

化为二阶变系数线性常微分方程标准形式有 \(p(x)=x^{-1}\)，\(q(x)=1-\frac{r^2}{x^2}\)，则 \(xp(x)\)，\(x^2q(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上解析

有解的形式

\[ y(x)=x^\rho\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \]

代入比较系数（此处略去推导）

有 \(\rho_1=r\)，\(\rho_2=-r\)

1. 讨论情形 \(\rho=\rho_1=r\geq0\) \[ J_r(x)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{1}{k!\Gamma(k+r+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+r} \]

2. 讨论情形 \(\rho=\rho_2=-r<0\)

   • \(r\) 不为正整数 \[ J_{-r}(x) \]

   • \(r\) 为正整数 \[ N_n(x)=\lim_{r\to n^+}\frac{J_r(x)\cos(r\pi)-J_{-r}(x)}{\sin(r\pi)} \]

贝塞尔函数

有任意 \(r\geq 0\)，\(\{J_r(x),N_r(x)\}\) 是贝塞尔方程的基解组

特殊地，\(r> 0\) 且不为整数时，\(\{J_r(x),J_{-r}(x)\}\) 是贝塞尔方程的基解组

整数阶贝塞尔函数 \(J_n(x)\) 的性质

• 奇偶性 \(J_n(x)=(-1)^nJ_n(-x)\)
• 第 \(m\) 个正零点 \(\mu_m^{(n)}\)

递推公式

\[ \begin{align} (x^nJ_n(x))'&=x^nJ_{n-1}(x) \nonumber\newline (x^{-n}J_n(x))'&=-x^{-n}J_{n+1}(x) \nonumber\newline J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)&=\frac{2n}{x}J_n(x) \nonumber\newline J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)&=2J_n'(x) \nonumber\newline \end{align} \]

贝塞尔方程特征值问题

\[ u_{\rho\rho}+\frac{1}{\rho}u_\rho+\frac{1}{\rho^2}u_{\theta\theta}=-\lambda u(\rho,\theta) \]

将 \(u\) 变量分离

狄利克雷条件 \(u(\rho_0,\theta)=0\) 下，\(n\) 阶贝塞尔方程特征值问题

\[ \begin{cases} \rho^2R''(\rho)+\rho R'(\rho)+(\lambda^2\rho^2-n^2)R(\rho)=0 &,\ 0<\rho<\rho_0 \newline R(\rho_0)=0 &,\ |R(0)|<+\infty \end{cases} \]

特征值 \(\lambda_m=\left(\frac{\mu_m^{}(n)}{\rho_0}\right)^2\)，特征函数 \(R_m(\rho)=J_n\left(\frac{\mu_m^{}(n)}{\rho_0}\rho\right)\)，\(m\ge 1\)

贝塞尔函数的正交性与贝塞尔级数

\(f(\rho)\) 在 \([0,\rho_0]\) 连续且有分段连续的一阶导数 \[ f(\rho)=\sum_{m=1}^\infty A_mJ_n\left(\frac{\mu_m^{}(n)}{\rho_0}\rho\right) \] 其中 \[ A_m=\frac{2}{[\rho_0J_n'(\mu_m^{(n)})]^2} \int_0^{\rho_0}\rho f(\rho)J_n\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{\rho_0}\rho\right)\mathrm d\rho \]

圆柱体或圆域上定解问题

\[ \begin{cases} u_t=a^2\Delta u &,\ (\rho,\theta)\in\Omega &,\ t>0 \\ u|_{\rho=\rho_0}=0 &,\ t\ge 0 \\ u|_{t=0}=\varphi(\rho) &,\ 0\le\rho\le1 \end{cases} \]

令 \(u(\rho,t)=R(\rho)T(t)\)

\[ \frac{T'}{a^2T}=\frac{R''+\frac{1}{\rho}R'}{R}=-\lambda \]

是零阶贝塞尔方程特征值问题

特征值 \(\lambda_m=(\mu_m^{(0)})^2\)，特征函数 \(R_m(\rho)=J_0(\mu_m^{(0)}\rho)\)，\(m\ge 1\)

特征值代入得 \[ T_m(t)=A_m\mathrm e^{-a^2(\mu_m^{(0)})^2t} \] 则 \[ u(\rho,t)=\sum_{m=1}^{\infty} A_m\mathrm e^{-a^2(\mu_m^{(0)})^2t} J_0(\mu_m^{(0)}\rho) \] 展开 \(\varphi\) 比较得 \[ A_m=\frac{2}{[\rho_0J_0'(\mu_m^{(0)})]^2} \int_0^{1}\rho \varphi(\rho)J_0\left(\frac{\mu_m^{(0)}}{\rho_0}\rho\right)\mathrm d\rho \]

格林函数法

格林公式

高斯公式

\[ \iiint\limits_{\Omega} \nabla\cdot \boldsymbol F\mathrm d V = \iint\limits_{\partial\Omega} \boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\mathrm d s \]

其中汉密尔顿算子 \(\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\)

取 \(\boldsymbol F=u\nabla v\) 得三维形式格林公式

格林公式

《高等数学》所描述的“格林公式”

设平面场 \(F=(P,Q)\)

\[ \iint\limits_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm d S = \int\limits_L P\mathrm dx+Q\mathrm dy \]

若记 \(\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y})\)，平面区域 \(\Omega\)，\(\boldsymbol s=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) 表示正向边界切向量，那么

\[ \iint\limits_{\Omega}\nabla\times \boldsymbol F \mathrm d \sigma = \int\limits_{\partial\Omega} \boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol s \]

有曲面外法向量 \(\boldsymbol n=(\sin\alpha,-cos\alpha)\) 取 \(F=u\nabla v\)，仔细考虑平面区域积分可得二维形式格林公式

格林第一公式

三维

\[ \iiint\limits_{\Omega} u\Delta v \mathrm dV = \iint\limits_{\partial\Omega}u\frac{\partial v}{\partial \boldsymbol n} \mathrm ds - \iiint\limits_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\mathrm d V \]

二维

\[ \iint\limits_{\Omega}(uv_x)_x\mathrm d\sigma = \int\limits_{\partial\Omega} v\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol n}\mathrm d s - \iint\limits_{\Omega}(uv_y)_y\mathrm d\sigma \]

格林第二公式

三维

\[ \iiint\limits_{\Omega} (u\Delta u-v\Delta u)\mathrm dV = \iint\limits_{\partial\Omega}\left(u\frac{\partial v}{\partial\boldsymbol n}-v\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol n}\right)\mathrm d s \]

二维

\[ \iint\limits_{\Omega}(v\Delta u-u\Delta v)\mathrm d\sigma = \int\limits_{\partial\Omega}\left(v\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol n}-u\frac{\partial v}{\partial\boldsymbol n}\right)\mathrm d s \]

格林第三公式

格林第三公式的意义是（除去奇点后）\(u\) 的值仅与 \(\Delta u\) 和边界上的条件决定

三维

\[ u(\xi,\eta,\zeta) = \iint\limits_{\partial\Omega}\left( \varGamma\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol n} - u\frac{\partial\varGamma}{\partial\boldsymbol n} \right) \mathrm ds - \iiint\limits_{\Omega}\varGamma\Delta u \mathrm d V \]

其中 \(\varGamma=\frac{1}{4\pi r_{P_0P}}\)，\(r_{P_0P}=\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}\)

二维

\[ u(\xi,\eta)=\int\limits_{\partial\Omega} \left(\varGamma\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol n} - u\frac{\partial\varGamma}{\partial\boldsymbol n} \right) \mathrm d s - \iint\limits_{\Omega}\varGamma\Delta u\mathrm d \sigma \]

其中 \(P_0(\xi,\eta)\in \Omega\)，\(\varGamma(P,P_0)=\frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2}}\)

格林函数法

格林函数

设 \(\Omega\) 为二维或三维区域，\(\partial\Omega\) 充分光滑，\(\boldsymbol P_0\in\Omega\)，\(\varGamma(\boldsymbol p,\boldsymbol P_0)\) 为拉普拉斯方程基本解

考虑定解问题

\[ \begin{cases} -\Delta u=f(\boldsymbol p) &,\ \boldsymbol p\in\Omega \newline u(\boldsymbol p)=\varphi(\boldsymbol p) &,\ \boldsymbol p \in\partial\Omega \end{cases} \]

若 \(h(\boldsymbol p)\) 是如下定解问题的解

\[ \begin{cases} \Delta h=0 &,\ \boldsymbol p\in\Omega \newline h(\boldsymbol p)=-\varGamma(\boldsymbol p,\boldsymbol P_0) &,\ \boldsymbol p \in\partial\Omega \end{cases} \]

使格林函数 \(G(\boldsymbol P,\boldsymbol P_0)=\varGamma+h\)

则 \(G\) 为如下定解问题的解

\[ \begin{cases} \Delta G=\delta(\boldsymbol p,\boldsymbol P_0) &,\ \boldsymbol p\in\Omega \newline G(\boldsymbol p,\boldsymbol P_0)=0 &,\ \boldsymbol p \in\partial\Omega \end{cases} \]

那么原定解问题的解（三维）可以表示为

\[ u(\xi,\eta,\zeta)= -\iint\limits_{\partial\Omega}\varphi\frac{\partial G}{\partial\boldsymbol n}\mathrm ds +\iiint\limits_{\Omega} Gf\mathrm dV \]

（二维）

\[ u(\xi,\eta)= -\int\limits_{\partial\Omega}\varphi\frac{\partial G}{\partial\boldsymbol n}\mathrm ds +\iint\limits_{\Omega} Gf\mathrm d\sigma \]

应用

格林函数中 \(h\) 的形式仅与给定边界有关，则对于特定问题，先求出格林函数，在通过上述格林函数法的结果给出原定解问题的解

半空间上狄利克雷问题

\(\Omega=\{(x,y,z)\ |\ z>0\}\)，\(\partial\Omega=\{(x,y,z)\ |\ z=0\}\)

设 \(\boldsymbol P_0\in\Omega\)，\(\boldsymbol P_1\) 为对称点，有 \(G=\varGamma(\boldsymbol P,\boldsymbol P_0)-\varGamma(\boldsymbol P,\boldsymbol P_1)\)

计算

\[ \left.\frac{\partial G}{\partial\boldsymbol n}\right|_{\partial\Omega} = \left.\frac{\partial G}{\partial z}\right|_{z=0} = -\frac{1}{2\pi}\frac{\zeta}{[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+\zeta^2]^{3/2}} \]

代入格林函数法公式求解

平面圆域上狄利克雷问题

\(\Omega=\{(x,y)\ |\ x^2+y^2<R^2\}\)

设 \(\boldsymbol P_0\in\Omega\)，\(\boldsymbol P_1\) 为关于圆的反射点，极坐标 \(\boldsymbol P(\rho,\theta)\)

格林函数

\[ G(\boldsymbol P,\boldsymbol P_0)= -\frac{1}{4\pi}\ln\frac{\rho_0^2 R^2+\rho^2R^2-2\rho_0\rho R^2\cos(\theta_0-\theta)}{R^4+\rho_0\rho^2-2\rho_0\rho R^2\cos(\theta_0-\theta)} \]

特征线法

一阶线性偏微分方程特征线法

有关于 \(u(x,t)\) 的一阶线性偏微分方程 \[ au_t+bu_x+cu=f \] 其中 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(f\) 均为 \(x\) 和 \(t\) 的函数

特征方程：

\[ a\frac{\mathrm d x}{\mathrm dt}-b=0 \]

其积分曲线为上述方程的特征曲线（族）（带有任意常数 \(\tau\)），沿特征曲线有 \(au_t+bu_x=\frac{\mathrm du}{\mathrm d t}\)，常微分方程求解后将 \(\tau\) 反解代回即可

一阶拟线性偏微分方程特征线法

一阶偏微分方程柯西问题

\[ \begin{cases} a(x,t,u)u_x+b(x,t,u)u_t=c(x,t,u) &,\ x\in \mathbb{R} &,\ t>t_0 \\ u(x,t_0)=\varphi(x) &,\ x\in \mathbb{R} \end{cases} \]

1. 特征向量场 \(\boldsymbol\alpha=(a,b,c)\)

2. 特征方程组 \[ \begin{cases} \dfrac{\mathrm d x}{\mathrm d s}=a(x,t,u) &,\ x(s_0)=\tau \newline \dfrac{\mathrm d t}{\mathrm d s}=b(x,t,u) &,\ t(s_0)=t_0 \newline \dfrac{\mathrm d u}{\mathrm d s}=c(x,t,u) &,\ u(s_0)=\varphi(\tau) \end{cases} \]

特征方程组的解称为特征曲线族，其中 \(s_0=t_0\)

特征曲线消去参数 \(\tau\)、\(s\) 即为原问题的解

一维波动方程特征线法

无界弦振动柯西问题

\[ \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=0 &,\ -\infty<x<\infty &,\ t>0 \\ u(x,0)=\varphi(x) &,\ u_t(x,0)=\psi(x) &,\ -\infty<x<\infty \end{cases} \]

特征方程：

\[ \left(\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}\right)^2-a^2=0 \]

特征线 \(x-at=c_1\)，\(x+at=c_2\)

得满足微分方程的行波解

\[ u(x,t)=f(x-at)+g(x+at) \]

其中 \(f\)，\(g\) 为有二阶连续偏导数的任意函数

根据初始条件有达朗贝尔公式

\[ u(x,t)= \left[\frac{1}{2}\varphi(x-at)-\frac{1}{2a}\int_0^{x-at}\psi(\alpha)\mathrm d\alpha\right] + \left[\frac{1}{2}\varphi(x+at)+\frac{1}{2a}\int_0^{x+at}\psi(\alpha)\mathrm d\alpha\right] \]